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基于几何光学分析的双曲率后视镜的优化方案设计
摘 要：本文研究了汽车的双曲率外后视镜,进一步分析凸面镜对后视野范围的影响,从而针对后视镜镜面结构提出合理的优化设计方案.针对提出的后视镜改进需求,选择双曲率分界线位置、二次函数软化系数两个变量作为搜索对象进行步长搜索,在两个变量同时改变的情况下,找出一个满足有关标准下的优化结果.
关键词：双曲率后视镜；几何光学；二次函数软化；步长搜索
1引言
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要.一般来说,汽车的后视镜需要有良好的视野范围,以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况.同时,后视镜也要使图像的畸变尽可能小,以使驾驶员能够准确地判断距离.在这里,我们主要针对小型汽车的外后视镜的设计方案进行探讨.
如果汽车的后视镜使用平面镜,图像没有畸变,对距离的判断十分准确.但是当镜面大小受限时,视野相对较小.如果使用凸面镜,可以以较小的镜面获得更加宽广的视野,但是图像存在畸变,很难准确判断镜中物体与自己的距离.有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成,意图兼顾两者的优点.但事实上,驾驶员在观察后视镜时,两者很难同时看清.较受欢迎的做法是构造一个变曲率的后视镜,使后视镜可以兼顾两者的优点,也降低了观察和距离判断上的难度.目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜．最常见的是一种双曲率后视镜,内侧接面镜,外侧则是一个凸面镜,在它们之间进行了平滑的过渡.它们的具体设计有所区别,性能也会有所不同.
2凸面镜成像基本原理
汽车后视镜采用凸面镜可以扩大视野,后视镜曲率半径直接关系到后视镜的视野大小和影像质量.视野随着凸面镜曲率半径R缩小而增大,若m为视野扩大的倍数,则m与R存在这样的关系：
3汽车后视镜有关标准简介
根据人体工程学原理,人眼球的自然转动角度,上下和左右各为15°的时候不会感到疲劳.人头部的自然转动角度,上下各为30°和45°左右各为时,亦不会感到疲劳.合起来,不会感到疲劳的范围是,上下各为45°,左右各为60°.
考虑到在上下自然转动角度范围内,后视镜具有球面体的特性,不会对视野范围造成较大的影响.因此,在将左右眼点视作一个眼点后,我们只需考虑眼点左右转动角度对汽车的后视野范围的影响.
由光的可逆性,在将驾驶员的两眼球视作为单点光源的情况下,通过后视镜反射后的光亮部分即为汽车的后视野范围.以左后视镜为例,使用后视镜观察物体的大致情形如下：
(1)眼点通过汽车后视镜镜片最内侧的点观察到的视野为视野的内极限.
(2)眼点通过汽车后视镜镜片最外侧的点观察到的视野为视野的外极限.
(2)眼点通过汽车后视镜镜片最外侧的点观察到的视野为视野的外极限.此时,出射线与法规线重合,即当前情况下的视野范围刚好达到国家强制标准的要求.
对于视野范围要求具体界定,参考GB15084-2006机动车辆后视镜的性能和安装要求,如图1所示：
4后视镜的设计
本文通过选择一般小车型为对象,通过查阅轿车手册说明文档,并结合GB15084-2006强制规定,首先确定了轿车后视镜的各类参数.由于手册中只提到了双曲后视镜的曲率,因此需要建立几何关系,对模型的参数进行求解.根据双曲面镜的定义,我们通过数学几何关系建立方程后,带入曲率参数数据,可以求得图中的各类未知数.
4.1 改进前轿车后视镜视野的求解
首先,假设后视镜是一块曲率半径无穷的,即平面镜,根据人眼、后视镜和被观测物体的位置,我们可以得到下面这个示意图,通过对相关参数的预设规定,并结合数学几何关系,可以得到以下关系式：
根据国家强制性标准规定,小型轿车身后lOm的视野范围不得小于2.5米,因此,我们令ml等于10米,可以求得司机的视野范围为1.21米,小于国家强制性标准值.由于此结果是在假设后视镜为曲率无穷大的平面镜的前提下求得,因此我们可以根据同等大小的凸面镜与对应平面镜的视野范围关系可知：
因此可以求得,当曲率半径R1等于1400毫米,R2等于360毫米,双曲率分界线在1/3的位置时,驾驶员在身后10米的视野为3.4826米.
4.2改进后轿车后视镜视野的求解
(1)视野区过大的改进
由于上述求得的结果3.4826米比国家强制标准大很多,过大的视野范围可能对驾驶员在行驶过程引入不必要的内容,造成对视野的干扰.并且,为解决这个问题,本文采用了规划问题中的夹逼准则,即过小的视野范围会造成驾驶员的盲区过大,过大的视野范围会造成驾驶员的注意力不集中.
为解决对视野区过大的改进,可以通过调节双曲率分界线的位置,因为小曲率的凸面镜相当于一个平面镜,对视野的贡献不是很大,而大曲率的凸面镜具有很强的视野扩展性,因此大曲率镜面的面积基本决定了视野的大小.
(2)双曲率交界处图像严重失真的改进
在Ri等于1400毫米和R2等于360毫米可知,在两个曲率不同的凸面镜的交界处出现图像的失真现象很严重,因此如果当后视镜中看到的后方车辆正好处于两个曲率分界线处,则驾驶员无法判断后方超车车辆与自己的真实距离,因此十分危险.为解决这个问题,在两个曲率的过渡连接区,本文采用平滑式的渐变,使两个曲率不同的凸面镜逐渐过渡,而不是陡变.因此对双曲率后视镜建立如下数学模型：
通过在两个曲率交界处加入一个随x变化的二次函数来“软化”这种曲率的突变.首先对二次函数的软化系数进行定性分析,本文选择k等于-l/210～l/210,每次以1/2为单位变化量,可以得到如下曲线：
从上图可以定性分析得出几点结论：
(1)正的软化系数会导致曲线向上弯曲,负的软化系数会导致曲线向下弯曲；
(2)过正的软化系数会导致第二个凸面镜的曲率更大,因此导致曲率过渡更加不平滑；
(3)过负的软化系数会导致第二个凸面镜可能变成凹面镜,虽然两个曲率间过渡变得平滑,但会改变镜面的本质；
(4)为得到我们预期的“软化”曲率变化的效果,我们应该选择一个较小的负的软化系数.
(3)两种改进的求解
由于改进的问题涉及到多个变量的确定,而且必须要满足国家强制性要求所定下的标准,因此本文选择双曲率分界线位置a、二次函数软化系数k,两个变量作为搜索对象,在两个变量同时改变的情况下,找出一个满足国家强制性标准下的较优答案.
通过系列计算,可以得到各系列数据,为了使结果更加直观,因此对于双曲率分界线位置与超车所占后视镜比例关系作图如图4所示：
通过对图4分析,为了达到3米、5.5米、7米、10.5米超车占后视镜的比例,以及满足10米的驾驶员视野,本文最终选择123mm作为双曲率分界线,两双曲率凸面镜的比例为123:47≈2.6:1,相比之前的,大曲率凸面镜所占的面积减小了.
由之前对软化系数的定性分析我们可以知道,当软化系数时k<-“28,软化过度,导致凸面镜变成了凹面镜,因此,搜索范围定在(-1/2 2,0)之间,可以得到下面10米处视野随软化系数变化曲线图.
通过MATALB的ginput函数,可以抓取图中视野范围恰好等于2.5米对应的软化系数为l等于-5.78×l0-9,因此最终得到后视镜的方程为：
5结语
本文对一般模型进行了两大方面的改进,一是避免驾驶员的视野范围过大或者过小,导致注意力分散或者盲区过大,造成的行驶安全问题.二是引入了一元二次函数对双曲率镜的过度进行了软化,避免了跳变式的曲率过渡,而是渐进式的过渡.在问题求解过程中,设定曲率界限位置变量a和软化系数k为对象,通过MATLAB对双变量进行步长搜索,在搜索过程中不断淘汰不满足要求的数据,逐渐缩小搜索范围,最终确定了一组既满足国家强制性规定,又使驾驶员的视野正好适宜的数据,并且在双曲率界面处加入软化系数后,使图像失真大大减小.同时,本文基于几何光学对双曲率汽车后视镜的探讨可以进一步推广为多曲率汽车后视镜的计算,多曲率后视镜的距离感更加真实,并且图像失真更小.另外本文所用到的引入一元二次函数的“软化”思想可以推广到其他设计方面,例如机体流线型的设计,边角的钝化,信号处理以及电路设计中的非线性“软化”类优化问题.
参考文献：
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[5]姜启源,数学模型（第三版）[M],北京：高等教育出版社,2003,59 -121．
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